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淺談數(shù)學(xué)與建筑的論文
數(shù)學(xué)與建筑
富勒、網(wǎng)格球頂和巴基球
21世紀(jì)的建筑──充填空間的立體
拱──曲線數(shù)學(xué)
建筑與雙曲拋物面
箱子的破壞
力學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)的樂園，因為我們在這里獲得數(shù)學(xué)的果實。
──倫納多·達·芬奇
幾千年來，數(shù)學(xué)一直是用于設(shè)計和建造的一個很寶貴的工具。它一直是建筑設(shè)計思想的一種來源，也是建筑師用來得以排除建筑上的試錯技術(shù)的手段。下表可能看來內(nèi)容豐富，其實不過是多少世紀(jì)以來曾經(jīng)用在建筑上的數(shù)學(xué)概念的一部分：
·角錐 ·棱柱 ·黃金矩形 ·視錯覺 ·立方體 ·多面體 ·網(wǎng)格球頂 ·三角形·畢達哥拉斯定理 ·正方形，矩形 ·平行四邊形 ·圓，半圓 ·球，半球 ·多邊形·角 ·對稱 ·拋物線 ·懸鏈線 ·雙曲拋物面 ·比例 ·弧 ·重心 ·螺線 ·螺旋線 ·橢圓 ·鑲嵌圖案 ·透視
影響一個結(jié)構(gòu)的設(shè)計的有它的周圍環(huán)境、材料的可得性和類型，以及建筑師所能依靠的想像力和智謀。
一些歷史上的例子是──
·為建造埃及、墨西哥和尤卡坦的金字塔而計算石塊的大小、形狀、數(shù)量和排列的工作，依靠的是有關(guān)直角三角形、正方形、畢達哥拉斯定理、體積和估計的知識。
·秘魯古跡馬丘比丘的設(shè)計的規(guī)則性，沒有幾何計劃是不可能的。
·希臘雅典的巴臺農(nóng)神廟的構(gòu)造依靠的是利用黃金矩形、視錯覺、精密測量和將標(biāo)準(zhǔn)尺寸的柱子切割成呈精確規(guī)格（永遠使直徑成為高度的 1／3）的比例知識。
·埃皮扎夫羅斯古劇場的布局和位置的幾何精確性經(jīng)過專門計算，以提高音響效果，并使觀眾的視域達到最大。
·圓、半圓、半球和拱頂?shù)膭?chuàng)新用法成了羅馬的建筑師引進并加以完善的主要數(shù)學(xué)思想。
·拜占庭時期的建筑師將正方形、圓、立方體和半球的概念與拱頂漂亮地結(jié)合在一起，就像君士坦丁堡的圣索菲亞教堂中所用的那樣。
·哥特式教堂的建筑師用數(shù)學(xué)確定重心，以構(gòu)成一個可調(diào)整的幾何設(shè)計，使拱頂匯于一點，將石結(jié)構(gòu)的巨大重量引回地面，而不是橫向引出。
·文藝復(fù)興時期的石結(jié)構(gòu)顯示出對稱方面的精心設(shè)計，它是依靠明和暗、實和虛來實現(xiàn)的。
隨著新建筑材料的發(fā)現(xiàn)，人們便用一些新的數(shù)學(xué)思想來使這些材料的潛力達到最大。利用品種繁多的現(xiàn)成建筑材料──石、木、磚、混凝土、鐵、鋼、玻璃、合成材料（如塑料）、鋼筋混凝土、預(yù)應(yīng)力混凝土，建筑師們實際上已經(jīng)能設(shè)計任何形狀。我們現(xiàn)在已經(jīng)目睹了各種構(gòu)造：雙曲拋物面（舊金山的圣瑪麗教堂）、巴克明斯特?富勒的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)、保羅?索萊里的模數(shù)制設(shè)計、拋物線飛機吊架、模仿游牧民帳篷的立體合成結(jié)構(gòu)、支撐東京奧林匹克體育館的懸鏈線纜索，甚至還有帶著橢圓形圓頂天花板的八邊形住宅。
建筑是一個進展中的領(lǐng)域。建筑師們研究、改進、提高、再利用過去的思想，同時創(chuàng)造新思想。歸根到底，建筑師有想像任何設(shè)計的自由，只要存在著支持所設(shè)計結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)和材料。
有關(guān)希爾伯特的兩個小故事
德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（1862～1943）是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他對數(shù)學(xué)的貢獻是巨大的和多方面的，研究領(lǐng)域涉及代數(shù)不變式，代數(shù)數(shù)域，幾何基礎(chǔ)，變分法，積分方程，無窮維空間，物理學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等。他在1899年出版的《幾何基礎(chǔ)》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動形成了“數(shù)學(xué)公理化學(xué)派”，可以說希爾伯特是近代形式公理學(xué)派的創(chuàng)始人。1900年希爾伯特38歲時在巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上作了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演。在講演中，他根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果與發(fā)展趨勢，以卓越的遠見和非凡的洞察力，提出了新世紀(jì)所面臨的23個問題。這23個問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大部分重要領(lǐng)域（著名的哥德巴赫猜想就是第8個問題中的一部分），對這些問題的研究有力地推動了20世紀(jì)各個數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。
本文介紹關(guān)于希爾伯特青年時代的兩個小故事。
一、老師在課堂上現(xiàn)想現(xiàn)推
1880年秋天，18歲的希爾伯特進人家鄉(xiāng)的哥尼斯堡大學(xué)，他不顧當(dāng)法官的父親希望他學(xué)習(xí)法律的愿望，毫不猶豫地進了哲學(xué)系學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（當(dāng)時的大學(xué)，數(shù)學(xué)還設(shè)在哲學(xué)系內(nèi)）。希爾伯特發(fā)現(xiàn)當(dāng)時的大學(xué)生活要多自由有多自由。意想不到的自由，使許多年輕人把大學(xué)第一年的寶貴時光都花費在學(xué)生互助會的傳統(tǒng)活動飲酒和斗劍上，然而對希爾伯特來說，大學(xué)生活的更加迷人之處卻在于他終于能自由地把全部精力給予數(shù)學(xué)了。
大學(xué)的第一學(xué)期，希爾伯特選學(xué)了積分學(xué)，矩陣論和曲面的曲率論三門課。根據(jù)規(guī)定。第二學(xué)期可以轉(zhuǎn)到另一所大學(xué)聽課，希爾伯特選擇了海德爾堡大學(xué)，這是當(dāng)時德國所有大學(xué)中最討人喜歡和最富浪漫色彩的學(xué)校。希爾伯特在海德爾堡大學(xué)選聽拉撒路·富克斯的課。富克斯是微分方程方面的名家，他的名字和線性微分方程幾乎成了同義語。他講課確實與眾不同，給人的印象很深。課前他不大做準(zhǔn)備，對要講的內(nèi)容，在課堂上現(xiàn)想現(xiàn)推。于是常常發(fā)生這樣的情形，某個問題在黑板上推不下去了，這時他就再想另外一種方法，有時一連要換好幾種方法，但他最后總能推導(dǎo)出結(jié)果來。他就是這樣，習(xí)慣于在課堂上把自己置于危險的境地。這樣的課學(xué)生們?nèi)绾慰茨兀克囊晃粚W(xué)生后來回憶時寫道：這樣的課，使學(xué)生們“得到一個機會，瞧一瞧最高超的數(shù)學(xué)思維的實際過程�！蔽覀兛梢韵胂�，善于思考和學(xué)習(xí)的希爾伯特肯定會從中領(lǐng)悟到一個數(shù)學(xué)家是如何思考問題的，這種包括幾經(jīng)碰壁終于找到解法的探索過程在教科書上無論如何是看不到的。把思考問題的實際過程展現(xiàn)給學(xué)生看，這樣做實際上是非常富于啟發(fā)性的。我國著名的數(shù)學(xué)方法論專家徐利治教授認為這一點對希爾伯特的成長肯定起過很好的作用。我想這一點對我們今天也很有啟發(fā)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)會這道題的解法，而且更要學(xué)會這個解法是如何找到的。即學(xué)會思考。
二、蘋果樹下的例行出步
希爾伯特在海德爾堡上了一學(xué)期以后，接下來的一個學(xué)期，本來可以允許他再轉(zhuǎn)到柏林去聽課，但他深深地依戀自己的家鄉(xiāng)，于是他又回到了哥尼斯堡大學(xué)。再下一個學(xué)期──1882年春天，希爾伯特仍決定留在哥尼斯堡。
這時赫爾曼·閱可夫斯基從柏林學(xué)習(xí)了三個學(xué)期后也回到了哥尼斯堡大學(xué)。閩可夫斯基從小就數(shù)學(xué)才能出眾，據(jù)說有一次上數(shù)學(xué)課，老師因把問題理解錯了而“掛了黑板”，同學(xué)們異口同聲叫道：“閉可夫斯基去幫幫忙！”在柏林上學(xué)時，他因為出色的數(shù)學(xué)工作曾得到過一筆獎金。這時，年僅17歲的閱可夫斯基正沉浸在一項很深奧的研究之中──解巴黎科學(xué)院出榜征解的一個問題：把一個數(shù)表成五個平方數(shù)的和。一年后，1883年春天，18歲的閱可夫斯基和英國著名的數(shù)學(xué)家史密斯共享巴黎科學(xué)院的這項大獎。這件事轟動了整個哥尼斯堡。希爾伯特的父親因此曾告
誡自己的兒子不要冒冒失失地去和“這樣知名的人”交朋友。但由于對數(shù)學(xué)的熱愛和共同的信念，希爾伯特和比他小兩歲的閩可夫斯基很快成了好朋友。
1884年春天，年輕的數(shù)學(xué)家阿道夫·赫維茨從哥廷根來到哥尼斯堡擔(dān)任副教授，年齡還不到25歲，在函數(shù)論方面已有出色的研究成果。希爾伯特和閩可夫斯基很快就和他們的新老師建立了密切的關(guān)系。他們這三個年輕人每天下午準(zhǔn)5點必定相會去蘋果樹下散步。希爾伯特后來回憶道：“日復(fù)一日的散步中，我們?nèi)悸耦^討論當(dāng)前數(shù)學(xué)的實際問題；相互交換我們對問題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計劃�！痹谒麄�?nèi)酥�，赫維茨有著廣泛“堅實的基礎(chǔ)知識，又經(jīng)過很好的整理，”所以他是理所當(dāng)然的帶頭人，并使其他兩位心悅誠服。當(dāng)時希爾伯特發(fā)現(xiàn)，這種學(xué)習(xí)方法比鉆在昏暗的教室或圖書館里啃書本不知要好多少倍，這種例行的散步一直持續(xù)了整整八年半之久。以這種最悠然而有趣的學(xué)習(xí)方式，他們探索了數(shù)學(xué)的“每一個角落”，考察著數(shù)學(xué)世界的每一個王國 高三，希爾伯特后來回憶道：“那時從沒有想到我們竟會把自己帶到那么遠！”三個人就這樣“結(jié)成了終身的友誼�！�
正如徐利治教授所指出的，良師益友間的互相切磋討論對希爾伯特的成長發(fā)展也起了十分重要的作用，可以想見那段時間是希爾伯特才、學(xué)、識獲得迅速成長的重要階段，假如沒有這段經(jīng)歷，那么希爾伯特在1900年竟能在許多重要領(lǐng)域中一次提出那么多著名難題，倒是不易想象的了。
有關(guān)希爾伯特散步的這個小故事告訴我們，師生除了在課堂上的活動以外，師生在課外的交流以及同學(xué)間的課外交流，也是一種重要的學(xué)習(xí)方式，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常有益。而且，在散步中交流因為沒有書本，也不用紙和筆，因此沒有繁瑣的推導(dǎo)和計算，只能交談那些能用話“說出來”的東西，即對問題的理解，分析總是中的思想和方法，挖掘統(tǒng)帥形式推導(dǎo)的靈魂，......而這些對學(xué)好數(shù)學(xué)非常重要。同學(xué)們不妨經(jīng)常邀幾位要好的同學(xué)一起散步交談，肯定會其樂無究的。
參考資料；
�。�1）康斯坦斯·瑞德著《希爾伯特》，上海科技出版社，1982年。
�。�2）徐利治著《數(shù)學(xué)方法論選講》（第二版），武漢：華中工學(xué)院出版社，1988年。
選自《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2001年8月上
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