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數(shù)學(xué)變式圖形題目探究性學(xué)習(xí)論文
課本中的習(xí)題都是經(jīng)過編者的深思熟慮、反復(fù)斟酌而精心設(shè)計(jì)的，研究和運(yùn)用好教材中的習(xí)題變式訓(xùn)練，不但有利于學(xué)生思維的提高，而且往往還會(huì)收到知一題而通一類的教學(xué)效果。筆者在學(xué)�！皵�(shù)學(xué)興趣小組”教學(xué)輔導(dǎo)過程中，通過充分的利用數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題資源，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜象，有效地變換題目條件，積極探索習(xí)題中的“變式圖形”,得到了意想不到的數(shù)學(xué)效果。下面以北師大版九年級(jí) （ 上 ） 聯(lián)系拓廣 （P25） 中的題目為例，體驗(yàn)課本習(xí)題廣闊的探索空間和內(nèi)在的無窮魅力。
題目 1:正方形 ABCD 的對(duì)角線相交于點(diǎn) O, 正方形 A1B1C1O 與正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)相等，在正方形 A1B1C1O 繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形重疊部分的面積與正方形 ABCD 的面積有什么關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論。
解析：在旋轉(zhuǎn)過程中有△ AOE ≌△ BOF,
所以S四邊形 OEBF= S△ BOE+S△ BOF
= S△BOE+S△AOE=S△AOB= 1/4 S正方形ABCD.
即得到結(jié)論：重疊部分的面積為原正方形 ABCD 面積的四分之一 （ 定值 ）。
點(diǎn)評(píng)：此題如果僅限于上題結(jié)論，對(duì)學(xué)生探索能力的培養(yǎng)意義不大，教師此時(shí)應(yīng)趁學(xué)生的探索熱情，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下探索：
一、題目變式的探索
�。� 一 ） 題目結(jié)論的引伸探索
1. 在原題目中，猜想 OE 與 OF 有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。
答：OE = OF.
2. 在 原 題 目 中， 當(dāng) 正 方 形 A1B1C1O 繞 點(diǎn) O 轉(zhuǎn) 動(dòng) 到 正 方 形A1B1C1O 的邊 OA1、 OC1 與正方形 ABCD 的邊分別交于點(diǎn) E、F,猜想線段 BE、BF、AB 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想。
答：BE + BF = AB
3. 在原題目中，當(dāng)正方形 A1B1C1O 繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)到任意位置時(shí)，正方形 ABCD 的邊被正方形 A1B1C1O 覆蓋部分的總長(zhǎng)度與 OB 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的猜想不證明。
答 : 被覆蓋部分的總長(zhǎng)度 BE + BF =√2OB
評(píng)析：
本題形成上述結(jié)論的實(shí)質(zhì)是：OA1、OC1是經(jīng)過正方形 ABCD的對(duì)稱中心且互相垂直的兩條直線 , 正方形的大小以及是否是正方形都是非本質(zhì)的。只要抓住了問題的本質(zhì) , 就可以將其改編為若干豐富多彩的新命題。
�。� 二 ） 題目條件的變式探索
若將上述兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等改變?yōu)檫呴L(zhǎng)不相等，探索有什么結(jié)果？
解析：過 O 作 ON ⊥ AB,OM ⊥ BC,垂足分別為 N、M, 若正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 a,正方形 A1B1C1O 的邊長(zhǎng)為 b,在旋轉(zhuǎn)過程中易發(fā)現(xiàn)當(dāng) b 大于或等于 a/2 時(shí)，上述結(jié)論恒成立，當(dāng) b 小于 a/2 時(shí)，圖中重疊部分的面積均為 b2.
圖形變換不僅是一題多變的一種手段，而且作為探索解題思路、發(fā)現(xiàn)解題方法的一種手段，因此在幾何教學(xué)中，教師不僅要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“圖形變式”的訓(xùn)練，而且還要讓學(xué)生在自主探索或合作交流中獲得探索新知的樂趣。
二、題目變式后的應(yīng)用
題目 1:把正方形 ABCD 繞著點(diǎn) A,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形 AEFG,邊 FG 與 BC 交于點(diǎn) H,（1） 若設(shè)正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 3,且旋轉(zhuǎn)角為 300時(shí)，HB 的長(zhǎng)為多少。（2） 試問線段 HG 與線段 HB 相等嗎？請(qǐng)先觀察猜想，然后再證明你的猜想。（4） 若正方形的邊長(zhǎng)為 2cm,重疊部分 （ 四邊形 ABHG） 的面積為 43/3cm2,求旋轉(zhuǎn)的角度 n.
評(píng)析：
此題的設(shè)計(jì)是將題目的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)作為正方形的一個(gè)頂點(diǎn) , 旋轉(zhuǎn)后的圖形具備上述探索題目的基本特征。體現(xiàn)了從特殊到一般，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的圖形變式演變，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能使學(xué)生較好地掌握?qǐng)D形“旋轉(zhuǎn)變式”中的變量與不變量，培養(yǎng)了學(xué)生思考問題和解決問題的能力。
三、題目探究性學(xué)習(xí)后的反思
從“題目”情境設(shè)置來看，它以學(xué)生熟悉的兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形在某一定點(diǎn)上旋轉(zhuǎn)為載體，讓學(xué)生在多元化的操作過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的演變過程，符合學(xué)生從特殊到一般，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的圖形變式認(rèn)知規(guī)律，能使學(xué)生較好地掌握“圖形旋轉(zhuǎn)變式”中的變量與不變量，深刻感悟數(shù)學(xué)教學(xué)中的思想方法，如果教師在教學(xué)過程中能創(chuàng)造性地用好“圖形變式”后的這些題目，它不僅具有良好的導(dǎo)向作用，而且對(duì)學(xué)生的思維及探索精神的培養(yǎng)具有重要的意義。
從“題目”探究性學(xué)習(xí)方法來看 , 教師要立足教材，充分利用教材中的習(xí)題素材，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)確定教學(xué)的起點(diǎn)，把教材上的習(xí)題知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)成需要學(xué)生探索的問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索性學(xué)習(xí)活動(dòng)，通過教師對(duì)“題目”變式訓(xùn)練的“導(dǎo)”,誘發(fā)學(xué)生對(duì)“題目”變式后的“探”,學(xué)生才能真正參與到觀察、分析、綜合、概括等再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的思維活動(dòng)中 , 才能激發(fā)學(xué)生的求知欲，從而使學(xué)生在探究中獲得新知，在探究中發(fā)展思維，在探究中提高數(shù)學(xué)素質(zhì)�？傊�，教師對(duì)一些典型題目進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，這即是對(duì)學(xué)生探索學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)，也是學(xué)生創(chuàng)新能力的一種培養(yǎng)策略。
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