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培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方法的論文
一,數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng)
如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng),我認(rèn)為應(yīng)做到以下幾點(diǎn):
(一)教師從思想上重視數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng).
在備課時(shí)把它與數(shù)學(xué)知識(shí)一同納入教學(xué)目的,既要注意數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí),又要注意數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng).數(shù)學(xué)知識(shí),如概念,定理,公式,都明顯地寫在教科書上,不會(huì)被人忽視,而數(shù)學(xué)方法是無(wú)形的東西,容易被忽視.這就需要教師在備課時(shí)注意有關(guān)的數(shù)學(xué)方法,留意從知識(shí)中發(fā)掘,提煉出數(shù)學(xué)方法并明確地告訴學(xué)生,闡述方法的作用,引起學(xué)生思想上的重視.
例如在講到函數(shù)應(yīng)用時(shí),教師不能只滿足教學(xué)生解出題目結(jié)果,而應(yīng)在解題中教給學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的方法及其目的,意義,并在整個(gè)解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的分析,綜合,比較,抽象,洞察等多項(xiàng)能力.我們來(lái)看下面一道例題.
【例1】某人有5000元存入銀行,準(zhǔn)備x年后才取出使用.它有兩種方式可供選用
(1)存x年期定期儲(chǔ)蓄,當(dāng)時(shí)年利率6.66%,單利計(jì)息.
(2)一年期定期儲(chǔ)蓄,當(dāng)時(shí)年利率5.22%,到期把利息轉(zhuǎn)入本金一并續(xù)存,這樣反復(fù)進(jìn)行,x年后結(jié)算,即復(fù)利計(jì)息(假定x年內(nèi)利率不變).
試比較哪種方法在x年后結(jié)算時(shí)的本利和要高并求出5年后的本利和.
解:從本題可以看出隨著年數(shù)的增加,本利和也將不斷增加,這樣就確定了一種函數(shù)的關(guān)系,即:年數(shù)是自變量,本利和是因變量.
我們?cè)O(shè)年數(shù)為x,設(shè)本利和為y.
(1)本金5000元,單利計(jì)息x年后的本利和:
y=5000(1+6.66%x)
(2)復(fù)利計(jì)息各年本利和分別為:
x年后的本利和為:.
這種對(duì)實(shí)際問(wèn)題舍去其具體內(nèi)容,從中抽象出數(shù)量關(guān)系的方法就屬于"建立數(shù)學(xué)模型"的方法.其中(1)建立的數(shù)學(xué)模型為一次函數(shù)模型;(2)建立的數(shù)學(xué)模型為指數(shù)函數(shù)模型.這樣再解決x年后的本利和的計(jì)算問(wèn)題就十分清楚了.
我們要將兩種計(jì)息方法進(jìn)行比較,分別計(jì)算5年后的本利和:
當(dāng)x=5時(shí),代入一次函數(shù)中,y=6665(元).
當(dāng)x=5時(shí),代入指數(shù)函數(shù)中,y=6448.54(元).
分析比較結(jié)果發(fā)現(xiàn),單利計(jì)息的本利和要高出復(fù)利計(jì)息的本利和.這樣,我們又通過(guò)不同的數(shù)學(xué)模型對(duì)現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題進(jìn)行了解釋,達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.
最后給出學(xué)生解決此類問(wèn)題的方法,以此題為例,解決單利,復(fù)利計(jì)息問(wèn)題的思路框圖是:
數(shù)學(xué)抽象
(轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題)
數(shù)學(xué)證明
實(shí)際解釋
(返回)
又如下題:
求:
解:要消去被積函數(shù)中的根式,可以利用三角公式:
設(shè),
那么
于是,通過(guò)變量代換可將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化成變量t的表達(dá)式,即
=
由于所以
利用輔助直角三角形,可得,
所以,
恒等變換不僅在初等數(shù)學(xué)中有重要作用,在高等數(shù)學(xué)中也有重要意義.在解題中逐漸滲透恒等變換的數(shù)學(xué)方法,使學(xué)生掌握將復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題,將難的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化成容易的問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法.而冪級(jí)數(shù)變換,拉普拉斯變換等也都是符合這種基本思想方法的.
在教學(xué)過(guò)程中,每當(dāng)遇到這類情形時(shí),教師就應(yīng)盡力提煉出解決的思想實(shí)質(zhì),不失時(shí)機(jī)地告訴學(xué)生,使其思路開闊,胸懷全局,不把眼光只局限于枝節(jié)的,具體的變換技巧和運(yùn)算過(guò)程.
數(shù)學(xué)方法不只是證題的技巧性的方法,還要留意那些思考問(wèn)題的帶有一般性的認(rèn)識(shí)論的方法.例如,從特殊到一般,先具體后抽象,先簡(jiǎn)單后復(fù)雜,局部與整體相連系等,把這些思想貫穿于日常的教學(xué)中,使其日漸熏陶,理解體會(huì).這樣,就會(huì)逐漸使學(xué)生能站在較高的地位上考慮問(wèn)題.
(二)在解題的過(guò)程中多采用對(duì)比的手法以顯示方法的優(yōu)越性.
對(duì)比最具說(shuō)服力,能明顯地顯示出一種巧妙方法地優(yōu)越性,并能給學(xué)生思想上留下較深的記憶痕跡.
例如:證明,對(duì)于任意的正數(shù)x,y,z,總有
證明:如果直接去證則難度較大.但若用換元法,令
則原題變?yōu)?"如果a+b+c=0,則ab+bc+ca"
由于,所以
從而使原題得證.
又如:求拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo).
解:對(duì)此題,大部分學(xué)生會(huì)想到設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),據(jù)題意列出一個(gè)二元二次方程組,在去解出x,y的值.這樣做運(yùn)算復(fù)雜,容易出錯(cuò).如果應(yīng)用數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想方法,借助于拋物線的圖象,在根據(jù)拋物線的定義,就會(huì)想到拋物線上任意點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到準(zhǔn)線的距離相等,這樣,就得到所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,再代入拋物線方程,這樣就可以求出縱坐標(biāo)為,則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
通過(guò)解題方法的對(duì)比,可起到示范的作用,使學(xué)生看到靈活運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法的優(yōu)越性,從而引起自覺(jué)的注意.同時(shí),教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回憶,一方面可以顯示方法的作用,另一方面更可使其從聯(lián)系,對(duì)比中學(xué)會(huì)更靈活地運(yùn)用這種方法.
(三)對(duì)不同類型的數(shù)學(xué)方法應(yīng)有不同的教學(xué)要求并采用不同的教學(xué)方法.
對(duì)邏輯性的數(shù)學(xué)方法,應(yīng)著重講清邏輯結(jié)構(gòu),要求正確使用邏輯推理形式;對(duì)容易混淆的地方,如某些命題的否定,某些命題成立的充分條件,必要條件的表述與判定,要反復(fù)強(qiáng)調(diào),并用通俗的例子來(lái)闡述;對(duì)技巧性的數(shù)學(xué)方法,則應(yīng)注重培養(yǎng)運(yùn)用方法的技巧,注意擴(kuò)大應(yīng)用方法的范圍;對(duì)宏觀的數(shù)學(xué)方法,如坐標(biāo)方法,公理方法,應(yīng)著重理解其思想實(shí)質(zhì),認(rèn)識(shí)到它們的重要作用.
(四)注意各種數(shù)學(xué)方法的綜合運(yùn)用.
一道較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題,常需在解決的不同階段使用不同的數(shù)學(xué)方法,各種方法的綜合運(yùn)用,有利于數(shù)學(xué)能力的提高.
例如:證明
此題使用了放縮法和裂項(xiàng)法.象這樣聯(lián)合使用多種的數(shù)學(xué)方法,不但會(huì)起到鞏固,熟練使用方法的作用,更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.
二,數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)
數(shù)學(xué)方法在教學(xué)中經(jīng)常用到,學(xué)生易于接受,而數(shù)學(xué)思維是一個(gè)比較抽象的概念,下面我們來(lái)了解以下有關(guān)數(shù)學(xué)思維的知識(shí).
(一)數(shù)學(xué)思維及其性質(zhì)
1,數(shù)學(xué)思維
思維是人的理性認(rèn)識(shí)過(guò)程.所謂數(shù)學(xué)思維,是指人關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的理性認(rèn)識(shí)過(guò)程,廣義可理解為,包括應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決各種實(shí)際問(wèn)題的思考過(guò)程.
數(shù)學(xué)思維與其他思維的區(qū)別在于數(shù)學(xué)科學(xué)研究的對(duì)象及數(shù)學(xué)科學(xué)的研究方法.數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系與空間形式,而把事物的其他屬性看作是無(wú)足輕重的.數(shù)量關(guān)系是抽象,概括的產(chǎn)物.數(shù)學(xué)所討論的空間形式也是以現(xiàn)實(shí)對(duì)象為基礎(chǔ)加以理想化的結(jié)果.更深一步,人們還可以脫離開具體的幾何形象,只是從它們的相互關(guān)系極其性質(zhì)中去認(rèn)識(shí)空間形式.
2,創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維
所謂創(chuàng)造性思維,是指思維的結(jié)果或處理問(wèn)題的方法帶有新穎性,獨(dú)特性.這種思維并非一開始就建立在嚴(yán)格的邏輯論證之上.
從思維過(guò)程的狀態(tài)來(lái)看,創(chuàng)造性思維從總體上總是表現(xiàn)為:
發(fā)散以便于聯(lián)想,尋找各種知識(shí)組塊之間的可能的組合,發(fā)現(xiàn)推理的起點(diǎn).收斂以便于集中思考,驗(yàn)證由發(fā)散思維所得到的方案的可行性,對(duì)其補(bǔ)充,修正或提出新的方案.
3,數(shù)學(xué)思維的性質(zhì)
(1)抽象性.數(shù)學(xué)思維的抽象性,是指數(shù)學(xué)思維的對(duì)象與方法而言的.數(shù)學(xué)思維的對(duì)象是事物之間的數(shù)量關(guān)系或理想化了的空間形式,而它們又不是停留在一次抽象的結(jié)果上,通常都是經(jīng)過(guò)多次抽象而形成,呈現(xiàn)為形式化的東西.要認(rèn)識(shí)這些形式化的東西,只有在與別的已經(jīng)形式化的東西的聯(lián)系中去認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)思維的方法在很大程度上是實(shí)現(xiàn)形式的轉(zhuǎn)化,用新的等價(jià)形式或更強(qiáng)的形式代替原有形式,而這些轉(zhuǎn)化出的形式又要是已掌握的形式.正是基于這兩種原因,使數(shù)學(xué)思維抽象化.
(2)嚴(yán)謹(jǐn)性.數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是指思維的依據(jù)而言.
(3)統(tǒng)一性.數(shù)學(xué)思維的統(tǒng)一性是指思維的宏觀發(fā)展方向而言的.數(shù)學(xué)科學(xué)的研究,總是謀求用統(tǒng)一的理論概括零碎的事實(shí),這樣既便于簡(jiǎn)化研究,又能洞察到事物或現(xiàn)象的本質(zhì).例如:線型算子把微分,積分及各種線性運(yùn)算統(tǒng)一起來(lái).
(二)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)
既然數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)升華的結(jié)果,那么,整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程.因此,如何通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)自覺(jué)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就成為值得探討的重要課題.
1,通過(guò)概念的教學(xué)培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維.
數(shù)學(xué)概念的教學(xué),首先要認(rèn)識(shí)概念引入的必要性,創(chuàng)設(shè)思維情境及對(duì)感性材料進(jìn)行分析,抽象,概括.此時(shí),如果教師能結(jié)合有關(guān)數(shù)學(xué)史談其必要性,將是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的大好時(shí)機(jī).比如,為什么將實(shí)數(shù)域擴(kuò)充到復(fù)數(shù)域,擴(kuò)充的辦法為什么是這樣,這樣做的合理性在什么地方,又是如何想出來(lái)的等等.也就是說(shuō),數(shù)學(xué)概念教學(xué)的任務(wù),不僅要解決"是什么"的問(wèn)題,更重要的是"是怎樣想到的"問(wèn)題,以及有了這個(gè)概念之后,在此基礎(chǔ)上又是如何建立和發(fā)展理論的問(wèn)題.即首先要將概念的來(lái)龍去脈和歷史背景講清楚.其次,就是對(duì)概念的理解過(guò)程.這一過(guò)程是復(fù)雜的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程.教師不僅應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),還要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念的定義的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析,明確概念的內(nèi)涵和外延,在此基礎(chǔ)上再啟發(fā)學(xué)生歸納概括出幾條基本性質(zhì),應(yīng)用范圍以及利用概念進(jìn)行判斷等.總之,要從概念的形成過(guò)程中,既培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的思維能力,又使他們學(xué)到科學(xué)的研究方法.
綜上所述,數(shù)學(xué)概念的教學(xué),從引入,理解,深化,應(yīng)用等各個(gè)階段都伴隨著重要的創(chuàng)造性思維活動(dòng)過(guò)程,因此都能達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的目的.
2,在數(shù)學(xué)定理的證明過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維
數(shù)學(xué)定理的證明過(guò)程就是尋求,發(fā)現(xiàn)和做出證明的思維過(guò)程.數(shù)學(xué)定理,公式反映了數(shù)學(xué)對(duì)象的屬性之間的關(guān)系.關(guān)于這些關(guān)系的認(rèn)識(shí),一方面,要盡量創(chuàng)造條件,從感性認(rèn)識(shí)和學(xué)生的已有知識(shí)入手,以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)定理,公式的積極性,讓學(xué)生了解定理,公式的形成過(guò)程,并要設(shè)法使學(xué)生體會(huì)到尋求真理的樂(lè)趣.另一方面,定理一般是在觀察的基礎(chǔ)上,通過(guò)分析,比較,歸納,類比,想象,概括成抽象的命題.這是一個(gè)思考,估計(jì),猜想的思維過(guò)程.定理的結(jié)論最好由教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成,這樣既有利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的訓(xùn)練,也有利于學(xué)生分清定理的條件和結(jié)論,從而對(duì)進(jìn)一步做出嚴(yán)格的論證奠定基礎(chǔ).
定理和公式的證明是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn),因?yàn)樗袚?dān)著雙重任務(wù),一是它的證明方法一般具有典型性,學(xué)生掌握了這些方法后可達(dá)到舉一反三的目的,二是通過(guò)定理的證明發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)造性思維.
綜上所述,只有強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng),才有利于提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和自覺(jué)性,更好地達(dá)到和完成學(xué)校教育的任務(wù).
參考數(shù)目:
徐利治:《數(shù)學(xué)方法論選講》,華中工學(xué)院出版社.
錢學(xué)森:《關(guān)于思維科學(xué)》,上海人民出版社.
數(shù)學(xué)模型:函數(shù).
一次函數(shù)與指數(shù)
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