數(shù)學專著初中的讀書筆記范文
認真讀完一本名著后，相信大家一定領會了不少東西，何不寫一篇讀書筆記記錄下呢？那么如何寫讀書筆記才能更有感染力呢？以下是小編為大家整理的數(shù)學專著初中的讀書筆記范文，希望能夠幫助到大家。
數(shù)學專著初中的讀書筆記1
讀完《什么是數(shù)學》之后，我深受內容的影響，感觸很深，對于數(shù)學的演化有種震撼的感受，我想這種感觸我一定要用筆記下來，好讓我以后忘了再把它想起來。我為什么要把它用筆寫下來，不用我多說，我想大家肯定知道其中的秘密。
現(xiàn)在，我們將從一系列公理開始，從自然數(shù)的產生一直說到實數(shù)理論的完善�；蛟S會對數(shù)學的“科學性”有一個新的認識。
自然數(shù)是數(shù)學界中最自然的數(shù)，它用來描述物體的個數(shù)，再抽象一些就是集合的元素個數(shù)。在人類文明的最早期，人們就已經很自然地用到了自然數(shù)。可以說，自然數(shù)是天然產生的，其余的一切都是從自然數(shù)出發(fā)慢慢擴展演變出來的。數(shù)學家Kronecker曾說過，上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的一切皆是人的勞作。(Godmadethenaturalnumbers;allelseistheworkofman.)。
隨著一些數(shù)學理論的發(fā)展，我們迫切地希望對自然數(shù)本身有一個數(shù)學描述。從邏輯上看，到底什么是自然數(shù)呢？歷史上對自然數(shù)的數(shù)學描述有過很多的嘗試。數(shù)學家GiuseppePeano提出了一系列用于構造自然數(shù)算術體系的公理，稱為Peano公理。Peano公理認為，自然數(shù)是一堆滿足以下五個條件的符號：
1.0是一個自然數(shù)；
2.每個自然數(shù)a都有一個后繼自然數(shù)，記作S(a)；
3.不存在后繼為0的自然數(shù)；
4.不同的自然數(shù)有不同的后繼。即若a≠b，則S(a)≠S(b)；
5.如果一個自然數(shù)集合S包含0，并且集合中每一個數(shù)的后繼仍在集合S中，則所有自然數(shù)都在集合S中。（這保證了數(shù)學歸納法的正確性）
形象地說，這五條公理規(guī)定了自然數(shù)是一個以0開頭的單向有序鏈表。自然數(shù)的加法和乘法可以簡單地使用遞歸的方法來定義，即對任意一個自然數(shù)a，有：
a+0=a
a+S(b)=S(a+b)
a·0=0
a·S(b)=a+(a·b)
其它運算可以借助加法和乘法來定義。例如，減法就是加法的逆運算，除法就是乘法的逆運算，“a≤b”的意思就是存在一個自然數(shù)c使得a+c=b。交換律、結合率和分配率這幾個基本性質也可以從上面的定義出發(fā)推導出來。
Peano公理提出后，多數(shù)人認為這足以定義出自然數(shù)的運算，但Poincaré等人卻開始質疑Peano算術體系的相容性：是否有可能從這些定義出發(fā)，經過一系列嚴格的數(shù)學推導，最后得出0=1之類的荒謬結論？如果一系列公理可以推導出兩個互相矛盾的命題，我們就說這個公理體系是不相容的。Hilbert的23個問題中的第二個問題就是問，能否證明Peano算術體系是相容的。這個問題至今仍有爭議。
在數(shù)學發(fā)展史上，引進負數(shù)的概念是一個重大的突破。我們希望當a
(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)
(a-b)·(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)
我們可以非常自然地把上面的規(guī)則擴展到a
生活中遇到的另一個問題就是“不夠分”、“不夠除”一類的情況。三個人分六個餅，一個人兩個餅；但要是三個人分五個餅咋辦？此時，一種存在于兩個相鄰整數(shù)之間的數(shù)不可避免的產生了。為了更好地表述這種問題，我們用一個符號a/b來表示b個單位的消費者均分a個單位的物資。真正對數(shù)學發(fā)展起到決定性作用的一個步驟是把由兩個數(shù)構成的符號a/b當成一個數(shù)來看待，并且定義一套它所服從的運算規(guī)則。借助“分餅”這類生活經驗，我們可以看出，對于整數(shù)a,b,c，有(ac)/(bc)=a/b，并且(a/b)+(c/d)=(ad+bc)/(bd),(a/b)·(c/d)=(ac)/(bd)。為了讓新的數(shù)能夠用于度量長度、體積、質量，這種定義是必要的。但在數(shù)學歷史上，數(shù)學家們經過了很長的時間才意識到：從邏輯上看，新的符號的運算規(guī)則只是我們的定義，它是不能被“證明”的，沒有任何理由要求我們必須這么做。正如我們定義0的階乘是1一樣，這么做僅僅是為了讓排列數(shù)A(n,n)仍然有意義并且符合原有的運算法則，但我們絕對不能“證明”出0!=1來。事實上，我們完全可以定義(a/b)+(c/d)=(a+c)/(b+d)，它仍然滿足基本的算術規(guī)律；雖然在我們看來，這種定義所導出的結果非常之荒謬，但沒有任何規(guī)定強制我們不能這么定義。只要與原來的公理和定義沒有沖突，這種定義也是允許的，它不過是一個不適用于度量這個世界的絕大多數(shù)物理量的、不被我們熟知和使用的、另一種新的算術體系罷了。
我們稱所有形如a/b的數(shù)叫做有理數(shù)。有理數(shù)的出現(xiàn)讓整個數(shù)系變得更加完整，四則運算在有理數(shù)的范圍內是“封閉”的了，也就是說有理數(shù)與有理數(shù)之間加、減、乘、除的結果還是有理數(shù)，可以沒有限制地進行下去。從這一角度來看，我們似乎不大可能再得到一個“在有理數(shù)之外”的數(shù)了。
當我們的數(shù)系擴展到有理數(shù)時，整個數(shù)系還出現(xiàn)了一個本質上的變化，這使我們更加相信數(shù)系的擴展已經到頭了。我們說，有理數(shù)在數(shù)軸上是“稠密”的，任何兩個有理數(shù)之間都有其它的有理數(shù)（比如它們倆的算術平均值）。事實上，在數(shù)軸上不管多么小的一段區(qū)間內，我們總能找到一個有理數(shù)（分母m足夠大時，總有一個時刻1/m要比區(qū)間長度小，此時該區(qū)間內至少會出現(xiàn)一個分母為m的有理數(shù)）。這就使得人們會理所當然地認為，有理數(shù)已經完整地覆蓋了整個數(shù)軸，所有的數(shù)都可以表示成a/b的形式。
難以置信的是，這樣的數(shù)竟然不能覆蓋整個數(shù)軸；除了形如a/b的數(shù)以外，數(shù)軸上竟然還有其它的數(shù)！這是早期希臘數(shù)學最重要的發(fā)現(xiàn)之一。那時，古希臘人證明了，不存在一個數(shù)a/b，使得其平方恰好等于2。平方之后等于2的數(shù)不是沒有（可以用二分法找出這個數(shù)），只是它不能表示成兩個整數(shù)之比罷了。用現(xiàn)在的話說就是，根號2不是有理數(shù)。根號2這種數(shù)并不是憑空想象出來的沒有實際意義的數(shù)，從幾何上看它等于單位正方形的對角線長。我們現(xiàn)有的數(shù)竟然無法表達出單位正方形的對角線長這樣一個簡單的物理量！因此，我們有必要把我們的數(shù)系再次進行擴展，使其能夠包含所有可能出現(xiàn)的量。我們把所有能寫成整數(shù)或整數(shù)之比的數(shù)叫做“有理數(shù)”，而數(shù)軸上其它的數(shù)就叫做“無理數(shù)”。它們合在一起就是“實數(shù)”，代表了數(shù)軸上的每一個點。
其實，構造一個無理數(shù)遠沒有那么復雜。我們可以非常輕易地構造出一個無理數(shù)，從而說明無理數(shù)的存在性。把所有自然數(shù)串起來寫在一起所得到的Champernowne常數(shù)0.12345678910111213141516...顯然是個無理數(shù)�？紤]用試除法把有理數(shù)展開成小數(shù)形式的過程，由于余數(shù)的值只有有限多種情況，某個時刻除出來的余數(shù)必然會與前面重復，因此其結果必然是一個循環(huán)小數(shù)；而Champernowne常數(shù)顯然不是一個循環(huán)小數(shù)（不管你宣稱它的循環(huán)節(jié)是什么，我都可以構造一個充分長的數(shù)字串，使得你的循環(huán)節(jié)中的某個數(shù)字根本沒在串中出現(xiàn)，并且顯然這個串將在Champernowne常數(shù)中出現(xiàn)無窮多次）。這個例子說明，數(shù)軸上還存在有大量的無理數(shù)，帶根號的數(shù)只占無理數(shù)中微不足道的一部分。這個例子還告訴我們，不是所有的無理數(shù)都像pi一樣可以用來測試人的記憶力和Geek程度。
在定義無理數(shù)的運算法則中，我們再次遇到了本文開頭介紹自然數(shù)時所面臨的問題：究竟什么是無理數(shù)？無理數(shù)的運算該如何定義？長期以來，數(shù)學家們一直受到這個問題的困惑。19世紀中期，德國數(shù)學家RichardDedekind提出了Dedekind分割，巧妙地定義了無理數(shù)的運算，使實數(shù)理論得到了進一步的完善。
在此之前，我們一直是用有序數(shù)對來定義一種新的數(shù)，并定義出有序數(shù)對之間的等價關系和運算法則。但Champernowne常數(shù)這種讓人無語的無理數(shù)的存在使得這種方法能繼續(xù)用于無理數(shù)的定義的希望變得相當渺茫。Dedekind不是用兩個或多個有理數(shù)的數(shù)組來定義無理數(shù)，而是用全體有理數(shù)的一個分割來定義無理數(shù)。我們把全體有理數(shù)分成兩個集合A和B，使得A中的每一個元素都比B中的所有元素小。顯然，滿足這個條件的有理數(shù)分割有且僅有以下三種情況：
1.1.A中有一個最大的元素ax。例如，定義A是所有小于等于1的有理數(shù)，B是所有大于1的有理數(shù)。
2.2.B中有一個最小的元素bx。例如，定義A是所有小于1的有理數(shù)，B是所有大于等于1的有理數(shù)。
3.3.A中沒有最大的元素，且B中沒有最小的元素。例如，A由0、所有負有理數(shù)和所有平方后小于2的正有理數(shù)組成，B由所有平方后大于2的正有理數(shù)組成。每一次出現(xiàn)這種情況，我們就說這個分割描述了一個無理數(shù)。
4.4.注意，“A中有最大元素ax且B中有最小元素bx”這一情況是不可能出現(xiàn)的，這將違背有理數(shù)的稠密性。ax和bx都是有理數(shù)，它們之間一定存在其它的有理數(shù)，而這些有理數(shù)既不屬于集合A，也不屬于集合B，因此不是一個分割。
為什么每一種情況3都描述了一個確定的無理數(shù)呢？其實這非常的形象。由于A里面沒有最大的元素，因此我們可以永不停息地從A里面取出越來越大的數(shù)；同樣地，我們也可以不斷從B里面取出越來越小的數(shù)。這兩邊的數(shù)將越來越靠近，它們中間夾著的那段區(qū)間將越來越小，其極限就是數(shù)軸上的一個確定的點，這個點大于所有A里的數(shù)且小于所有B里的數(shù)。但集合A和B已經包含了所有的有理數(shù)，因此這個極限一定是一個無理數(shù)。因此從本質上看，Dedekind分割的實質就是用一系列的有理數(shù)來逼近某個無理數(shù)。
現(xiàn)在我們可以很自然地定義出無理數(shù)的運算。我們把一個無理數(shù)所對應的Dedekind分割記作(A,B)，則兩個無理數(shù)(A,B)和(C,D)相加的結果就是(P,Q)，其中集合P中的元素是由A中的每個元素與C中的每個元素相加而得到，余下的有理數(shù)則都屬于集合Q。我們也可以用類似的辦法定義出無理數(shù)的乘法。另外，我們能夠很快地驗證，引入無理數(shù)后我們的運算仍然滿足交換律、結合率等基本規(guī)律，這里就不再多說了。
數(shù)學專著初中的讀書筆記2
最近讀《數(shù)學思維與小學數(shù)學》，感觸頗深。書中講到：只有通過深入的揭示隱藏在數(shù)學知識內容背后的思維方法，我們才能真正的做到將數(shù)學課“講活”、“講懂”、“講深”。這就是指，教師應通過自己的教學活動向學生展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學研究工作，而不是死的數(shù)學知識；教師并應幫助學生真正理解有關的教學內容，而不是囫圇吞棗，死記硬背；教師在教學中又不僅使學生掌握具體的數(shù)學知識，而且也應幫助學生深入領會并逐漸掌握內在的思維方法。
小學生學習數(shù)學，是在基本知識的掌握過程中，不斷形成數(shù)學能力、數(shù)學素養(yǎng)，獲取多角度思考和看待問題的方法，從而“數(shù)學的”思考和解決問題�；局R的掌握是途徑，多角度的思維方式的獲取才是最終目的。法國教育家第斯多惠說：“一個不好的教師奉送真理，一個好的教師則教人發(fā)現(xiàn)真理�！睂W生學習數(shù)學是一種活動，一種經歷，一個過程，活動和過程是不能告訴的，只能參與和體驗。因此，教師要改變以書本知識、教學為中心，以教師傳遞、學生接受的學習方式，把學習的主動權教給學生使學生在操作體驗中獲得對知識的真實感受，這是學生形成正確認識，并轉化為能力的原動力。正如華盛頓兒童博物館墻上醒目的格言：“做過的，浹髓淪肌�！�
平日的教學中，面對教師的提問，若是簡單的問題，回應的學生比較多，一旦遇上思考性強、有深度的問題就只有個別同學試探性地舉起自己的手，多數(shù)同學選擇沉默，更有甚者，有時教室里鴉雀無聲，真的，學生連大氣都不敢出……這每到這時，我的心就開始顫動，課間時還滿臉興奮的孩子怎么到課堂提問時就這幅摸樣，我開始尋找答案，原因是他們缺乏思考，日復一日，年復一年，他們的思考能力幾乎喪失了。學生的思考來源于何處？答案是老師的啟迪和培養(yǎng)。我們做教師的往往都把主要力量用到讓學生掌握現(xiàn)成的東西，死記硬背，久而久之，學生從不用思考，慢慢發(fā)展到不會思考，最后遇到問題也就不愿意思考了，這就會發(fā)生以上的情景。
我們教師在課堂上應做兩件事：
一、要教給學生一定范圍的知識
二、要使學生變得越來越聰明
而我們不少教師往往忽視了第二點，認為學生掌握了知識自然就聰明，其實不然，一個好奇的愛鉆研的和勤奮的學生才是真正意義上的聰明學生。那么這種聰明在于教師的啟迪和培養(yǎng)。現(xiàn)在的課堂重視小組合作學習，重視學生動手操作能力，其實這些做法都是在培養(yǎng)學生的思考能力。
數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動共同發(fā)展的過程。教師是學生數(shù)學活動的組織者、引導者與參與者，是學生數(shù)學智慧的啟迪者。智慧的教師眼中，不能只關注學生是否掌握了某個知識，而更應該關注整個教學過程對學生成長的意義以及對學生人生的影響。做一名智慧型教師，著眼于未來，啟迪學生思維，培養(yǎng)學生數(shù)學智慧，讓學生學會學習，促進終身發(fā)展。
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