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計算機數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)思路論文
一、前言
數(shù)學在人類文明的發(fā)展歷史中發(fā)揮著重要的作用，推動了重大的科學技術(shù)進步。尤其是到了二十世紀中葉以后，數(shù)學的理論研究與實際應(yīng)用之間的時間差已大大縮短。當前，隨著計算機應(yīng)用的普及，信息的數(shù)字化和信息通道的大規(guī)模聯(lián)網(wǎng)，依據(jù)數(shù)學所作的創(chuàng)造設(shè)想已經(jīng)達到可即時試驗、即時實施的地步。數(shù)學技術(shù)一直是一種應(yīng)用最廣泛、最直接、最及時、最富創(chuàng)造力的實用技術(shù)。數(shù)學為計算機的發(fā)明和發(fā)展壯大提供了堅實的理論基礎(chǔ)。早在1936年，英國數(shù)學家圖靈(Turing)發(fā)表了對計算機具有奠基意義的論文《論可計算數(shù)及其在判定問題上的應(yīng)用》，里面提出了計算的圖靈機模型，該模型即為現(xiàn)代計算機模型的原型。為紀念數(shù)學家圖靈，美國計算機學會于1966年設(shè)立了計算機界最負盛名的“圖靈”獎，以表彰那些對計算機事業(yè)做出重要貢獻的個人。數(shù)學是所有工科的基礎(chǔ)，其中離散數(shù)學已經(jīng)成為計算機科學發(fā)展的理論基礎(chǔ)。圖靈獎的獲得者中有不少是學數(shù)學或者數(shù)學家出身。1974年獲獎的DonaldE.Knuth被稱為現(xiàn)代計算機之父，之前在加州理工獲得數(shù)學博士學位，著有經(jīng)典著作《計算機程序設(shè)計藝術(shù)》4卷。RichardM.Karp于1985年獲獎，之前在哈佛大學獲應(yīng)用數(shù)學博士學位。1986獲獎的RobertE.Tarjan在斯坦福大學同時獲得數(shù)學和計算機的博士學位，主要研究圖論、算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。當前計算機理論及應(yīng)用的壯大和發(fā)展更是離不開近代數(shù)學的發(fā)展，將計算機與數(shù)學的發(fā)展分割開來既不合理也不現(xiàn)實，和所有學科一樣，計算機領(lǐng)域也有自己的問題，比如什么是可計算的，什么是實際可計算的，這些計算模型本質(zhì)上是數(shù)學的應(yīng)用。離散結(jié)構(gòu)上的算法研究無疑是計算機科學中的重要領(lǐng)域，研究算法需有扎實的數(shù)學功底，就機器學習領(lǐng)域的研究而言，通常要對所處理的數(shù)據(jù)建立不同的數(shù)學模型如分類模型、回歸模型和排序模型。一般地，先針對這些問題建立特定的模型，然后采用有效的優(yōu)化算法來求解這些模型。應(yīng)用數(shù)學如矩陣論、多元統(tǒng)計分析和最優(yōu)化理論可以為深入地研究機器學習領(lǐng)域提供理論基礎(chǔ)。在實際的工作中，會經(jīng)�？吹綌�(shù)學基礎(chǔ)好、具有一定數(shù)學素養(yǎng)的人解決問題會游刃有余且后勁足，學習新事物和新東西會比較快，會表現(xiàn)出一定的創(chuàng)造性。但是當前大學的課程安排普遍存在對學生的數(shù)學學習的掌握程度不是很重視，導(dǎo)致學生對數(shù)學課的態(tài)度停留在學習時僅了解，一學完就全忘，到用時就迷惑的一知半解狀態(tài)。教師在教授專業(yè)課和專業(yè)基礎(chǔ)課的過程中，沒有引導(dǎo)學生深入地發(fā)掘理論背后的數(shù)學本質(zhì)，導(dǎo)致學生對計算機科學理論的理解只能停留在表面，憑機械性記憶而沒有徹底理解。鑒于上述數(shù)學在計算機的發(fā)明發(fā)展和實際工作中的重要作用，因此，在計算機教育的過程中，迫切地需要培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)以滿足現(xiàn)實工作和學習中解決實際問題的需要。
二、數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)
《算法設(shè)計與分析》是計算機專業(yè)的一門重要的專業(yè)課，有利于培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，為學生學習后續(xù)課程打下堅實的基礎(chǔ)。下面結(jié)合這門課程來談?wù)勗谟嬎銠C課程中如何提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。
(一)結(jié)合算法的發(fā)明史來講解算法
深入學習計算機科學需要有良好的數(shù)學基礎(chǔ)，對于算法的學習更是如此。研究算法的圖靈獎獲得者中有很多是數(shù)學家或者學數(shù)學出身，如圖論中有很多算法是以前面提到的RobertE.Tarjan的名字命名的，著名的Dijkstra最短路徑算法由EdsgerW.Dijkstra發(fā)明，而他2000年退休前一直是美國Taxas大學的計算機科學和數(shù)學教授。前面提到的DonaldE.Knuth則是字符串匹配算法KMP算法的發(fā)明人。給學生講解算法的發(fā)明歷史一方面幫助學生了解發(fā)明算法的背景和發(fā)明過程，激發(fā)學生的創(chuàng)新欲望；另一方面讓學生認識到數(shù)學的重要性和其在該課程所涉及的領(lǐng)域中發(fā)揮的重要作用。
(二)結(jié)合學生所掌握的數(shù)學知識來講解算法
修讀該門課程的對象一般為大學高年級學生，他們之前應(yīng)該修過其他的數(shù)學課程，如高等數(shù)學(數(shù)學分析)、線性代數(shù)和離散數(shù)學。通常教師在講授該課程的過程中會認識到離散數(shù)學在其中發(fā)揮的作用，會有意識地提及離散數(shù)學的知識，但實際上學生學習的高等數(shù)學或線性代數(shù)的知識對理解該門課程也是有幫助的。下面通過一個例子來說明數(shù)學知識對理解算法正確性的重要作用。設(shè)計完算法如何證明算法的正確性呢？對于順序結(jié)構(gòu)和選擇結(jié)構(gòu)比較好驗證，而對于循環(huán)結(jié)構(gòu)就使用循環(huán)不變量(LoopInvariant)來證明。而循環(huán)不變量的證明實際上借鑒了數(shù)學歸納法的思想：循環(huán)發(fā)生前某個循環(huán)不變量為真，循環(huán)進行的過程中保持為真，那么循環(huán)結(jié)束時，該循環(huán)不變量仍然為真。因此可以斷定：無論循環(huán)體循環(huán)多少次，該循環(huán)不變量總為真。其他的例子，包括：比較算法的時間復(fù)雜度時可以引入高等數(shù)學中的無窮小量來講解；計算時間復(fù)雜度也會涉及到利用無窮級數(shù)的估計等等。
(三)結(jié)合數(shù)學工具來可視化算法
理論的發(fā)明通常是從簡單直觀的例子中歸納得來的，數(shù)學工具可以幫助我們理解和可視化算法。
(四)結(jié)合數(shù)學抽象思維來幫助學生理解算法
數(shù)學的抽象思維可以幫助學生站在更高的角度來看待問題和算法之間的聯(lián)系。算法通常是針對某一類問題的，而如何對問題進行歸類，如何選擇合適的算法解決是值得學生去探究的問題。講解算法時，應(yīng)該幫助學生抽象出問題的本質(zhì)，同時注意算法之間的聯(lián)系與區(qū)別。計算點對之間的距離是算法設(shè)計中一個經(jīng)典問題，如果源點單一，可采用Dijkstra最短路徑算法，而計算圖中任意點之間的最短路徑，使用Floyd-Warshall最短路徑算法會合適一些，但是如果圖上的權(quán)重存在負值，那就要用帶松弛操作的Bellman-Ford算法求解。了解了這些知識后，學生在把問題抽象成特定的算法模型時，就可以正確地使用合適的算法了。其他問題包括使用矩陣胚理論來證明貪心算法的正確性以及靈活應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃來求解離散結(jié)構(gòu)上的最優(yōu)化問題等等。
三、總結(jié)
數(shù)學在計算機的發(fā)展和應(yīng)用中的重要作用表明了數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)在計算機教育中的重要性。通過算法設(shè)計與分析課程的例子，第二節(jié)給出了4種方法闡述了如何在教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。然而，方法的最終目標是通過數(shù)學這個工具培養(yǎng)學生的自學能力，如同著名的教育家陶行知指出的那樣：“我以為好的先生不是教書，不是教學生，而是教學生學”。因此，通過學生的數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)能起到鍛煉學生思維能力和自學能力的目的。從這個意義上講，在計算機教育中培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)具有一定的積極作用和參考價值。
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