數(shù)學(xué)研究教學(xué)探討的論文
中學(xué)教學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程常發(fā)現(xiàn)：部分?jǐn)?shù)學(xué)優(yōu)等生對(duì)課堂教學(xué)常感到“吃不飽”，無(wú)目的超前學(xué)習(xí)教師尚未講授的新課，但實(shí)際上對(duì)教師正講授的內(nèi)容卻未能深入挖掘，出現(xiàn)掌握欠牢，理解欠透現(xiàn)象。另外，少數(shù)在中學(xué)階段數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生，進(jìn)入大學(xué)后，對(duì)大學(xué)教師講課不適應(yīng)，至少要經(jīng)過(guò)一段時(shí)間才逐漸適應(yīng)，總希望大學(xué)教師講課象中學(xué)教師講得那么“細(xì)”。這就對(duì)中學(xué)教師提出以下問(wèn)題：如何使學(xué)生的求知欲得到滿(mǎn)足，使學(xué)生的思維充分發(fā)展，使中學(xué)生到大學(xué)學(xué)習(xí)的適應(yīng)期盡量縮短？將大學(xué)中的研究式教學(xué)方法結(jié)合中學(xué)特點(diǎn)加以應(yīng)用，我認(rèn)為很有必要。數(shù)學(xué)優(yōu)秀生（誠(chéng)然，優(yōu)與差是相對(duì)而言，但每個(gè)學(xué)校、班級(jí)總存在一部分?jǐn)?shù)學(xué)成績(jī)突出，培育前途大的這類(lèi)學(xué)生）都有較旺盛的求知欲，較廣泛的興趣，較敏銳的觀察力，較集中注意力，較強(qiáng)的進(jìn)取心和一定的探索精神。應(yīng)該充分發(fā)揮他們的智能潛力。使之冒尖，這對(duì)為四化輸送人才是非常重要的。
大學(xué)少年班是優(yōu)秀生集中的地方，少年班教師探索的研究性教學(xué)法，很有借鑒作用�！霸诮虒W(xué)方式的改進(jìn)中，我們正在模索所謂研究性教學(xué)方法。研究性教學(xué)就是講演課上和其他類(lèi)型的課上，不斷地提出問(wèn)題，研究分析問(wèn)題和必要的課堂討論等方式講授，以幫助學(xué)生掌握知識(shí)、提高分析能力”
既是教學(xué)中心又是科研中心的大學(xué)，必然在著重加強(qiáng)基礎(chǔ)訓(xùn)練同時(shí)，又要使教學(xué)過(guò)程帶有研究性質(zhì)，在教學(xué)過(guò)程中，提出學(xué)生覺(jué)得需要解決的問(wèn)題，加以適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)習(xí)研究。在解決問(wèn)題的同時(shí)，提高學(xué)生思維能力，使教學(xué)與科研相結(jié)合。那么研究式教學(xué)就有著必然性，成為調(diào)動(dòng)大學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性、創(chuàng)造性和辯證思維能力的重要手段。
在中學(xué)教學(xué)中，為了有目的性，針對(duì)性調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、主動(dòng)性，引導(dǎo)他們?cè)诮虒W(xué)大綱范圍內(nèi)鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高能力，發(fā)展智力，將來(lái)適應(yīng)大學(xué)的研究性教學(xué)形式，我認(rèn)為，中學(xué)教學(xué)教育中，也可以根據(jù)中學(xué)生特點(diǎn)，采取“提問(wèn)質(zhì)疑--自學(xué)求索--討論研究--總結(jié)提高”的中學(xué)教學(xué)研究式教學(xué)方法。
提問(wèn)質(zhì)疑。在課堂上，課外活動(dòng)中或數(shù)學(xué)講座上，根據(jù)學(xué)生水平，教材內(nèi)容，提出需要解決的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生興趣，引起對(duì)學(xué)習(xí)某種知識(shí)的需要，產(chǎn)生學(xué)習(xí)研究的動(dòng)機(jī)，對(duì)求知欲旺盛的學(xué)生來(lái)說(shuō)，也起到引導(dǎo)他們正確學(xué)習(xí)方向的把關(guān)作用，防止無(wú)目的不切實(shí)際的“亂學(xué)”，即一是“引趣”二是“定向”。
自學(xué)求索。教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課本或有關(guān)課外閱讀材料，書(shū)籍，學(xué)習(xí)與研究問(wèn)題有關(guān)的知識(shí)，要求學(xué)生精讀教材或課外書(shū)。掌握有關(guān)知識(shí)或提出不懂問(wèn)題。
討論研究。在課堂上（提出的問(wèn)題在教材范圍內(nèi)且與大多數(shù)學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)有關(guān)）或在課外（提出的問(wèn)題有一定難度）由集體（小組或教師與個(gè)別有關(guān)學(xué)生）進(jìn)行探索研究，介紹自己的學(xué)習(xí)體會(huì)或解決問(wèn)題的方法。
總結(jié)提高。由老師或?qū)W生總結(jié)解決問(wèn)題的方法或結(jié)論，進(jìn)行歸納小結(jié)，可采用老師在課堂上或數(shù)學(xué)講座中總結(jié)規(guī)律，解答疑難，也可由學(xué)生寫(xiě)讀書(shū)筆記或小論文。用自己的語(yǔ)言進(jìn)行歸納，談出自己學(xué)習(xí)心得或獨(dú)立見(jiàn)解。
在《不等式》一章教學(xué)中，課本對(duì)基本不等式“A=≥=G”的證明，只要求對(duì)n=2.3的情況進(jìn)行證明，當(dāng)學(xué)生運(yùn)用公式達(dá)到一定熟悉程度時(shí)，便對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)好的學(xué)生（對(duì)成績(jī)中等以下則要求不要去研究，以免加重負(fù)擔(dān)），提出怎樣證明公式一般情形，介紹有關(guān)學(xué)生閱讀華羅庚的《數(shù)學(xué)歸納法》或其他教學(xué)參考書(shū)，數(shù)學(xué)成績(jī)好的學(xué)生興趣很濃，翻閱有關(guān)書(shū)籍學(xué)習(xí)，并對(duì)常見(jiàn)兩種證法提出不懂問(wèn)題進(jìn)行熱烈討論。最后，教師在數(shù)學(xué)講座中給以講解，并對(duì)教學(xué)歸納法證明中的一些技巧或“變著”進(jìn)行介紹，加深了數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的深入理解。其中有一個(gè)學(xué)生在一本課外書(shū)上看到關(guān)于這個(gè)公式證明的簡(jiǎn)單介紹：可用“如果a1a2…=a=1（a1a2…an∈R+）則a1+a2+an≥n”（實(shí)際上是公式A≥G的特例）證明公式“A≥G”而前者則可用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)他學(xué)習(xí)研究有困難，教師加以指導(dǎo)。這個(gè)學(xué)生終于解決這一問(wèn)題，則讓他歸納總結(jié)，寫(xiě)成小論文，后發(fā)表在《中學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》1985年第5期。這種證法介紹給其他學(xué)生，學(xué)生感到較前面兩種證明方法易懂。通過(guò)這樣做，使學(xué)生帶著問(wèn)題，圍繞當(dāng)前學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)去自學(xué)研究，使知識(shí)面擴(kuò)寬，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。
“什么是創(chuàng)造性思維？”它是主動(dòng)地，獨(dú)創(chuàng)性地發(fā)現(xiàn)新事物，提出新的見(jiàn)解，解決新的問(wèn)題的一種思維形式，就是我們平常說(shuō)的能做到舉一反三聞一知十。這里的創(chuàng)造，不是指科學(xué)家的發(fā)明創(chuàng)造，科學(xué)家的發(fā)明創(chuàng)造是說(shuō)他們所發(fā)現(xiàn)和解決的問(wèn)題往往是人類(lèi)不曾發(fā)現(xiàn)和解決的新事物，而學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造和解決問(wèn)題僅僅是對(duì)于他本人來(lái)說(shuō)是一種新鮮事物。學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)和發(fā)展，有助于他們將來(lái)進(jìn)行更大的創(chuàng)造�！埃ㄕ掠郎骸督逃睦砼c教學(xué)法》）誠(chéng)然培養(yǎng)中學(xué)生的創(chuàng)造性思維，首先會(huì)有利于中學(xué)生將來(lái)到大學(xué)深造時(shí)主動(dòng)地有創(chuàng)見(jiàn)性的學(xué)習(xí)。中學(xué)的研究式的教學(xué)法與大學(xué)少年班的研究式有不少差別：如對(duì)象不同---少數(shù)數(shù)學(xué)優(yōu)等生與群體優(yōu)等生（且優(yōu)的程度差別很大）。性質(zhì)不同--解決尚未學(xué)懂的問(wèn)題與解決尚未解決的問(wèn)題。方式不同---以發(fā)揮老師主導(dǎo)作用解疑為主與發(fā)揮學(xué)生主體作用為主。但都是為了培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)的積極的創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、方法和能力。前面介紹研究“A≥G”公式證明有創(chuàng)見(jiàn)（即通過(guò)學(xué)習(xí)探討獲得新知識(shí)）的學(xué)生，爾后學(xué)數(shù)學(xué)的興趣愈濃，參加1986年全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲自治區(qū)三等獎(jiǎng)，他所在班級(jí)（即筆者任教并試行此法的八七理二班）學(xué)數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)的空氣很濃，參加1986年全國(guó)高中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽時(shí)，有12人獲地區(qū)一、二、三等獎(jiǎng)，有一人獲自治區(qū)一等獎(jiǎng)，二人獲自治區(qū)二等獎(jiǎng)，有一人獲自治區(qū)三等獎(jiǎng)，體現(xiàn)了學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，創(chuàng)造性思維能力都有很大提高。
提問(wèn)質(zhì)疑，其目和是喚起學(xué)生的興趣，求知欲，好奇心，必須難度適當(dāng)，不能脫離教學(xué)大綱和學(xué)生實(shí)際，而應(yīng)該是能體現(xiàn)教學(xué)大綱，讓學(xué)生通過(guò)自己的積極努力能理解并感到克服學(xué)習(xí)困難產(chǎn)生一種樂(lè)趣的這種適當(dāng)難度。可以這樣說(shuō)，讓學(xué)生跳一跳才能摘到樹(shù)上的果子。若伸手可得或高不可攀都是不可取的，適當(dāng)?shù)馁|(zhì)疑，讓學(xué)生經(jīng)�！疤惶闭焦樱@樣多跳幾次，“彈跳力”---自學(xué)能力，分析能力等就隨之提高了。
在“自學(xué)求索”這一階段，必須培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)習(xí)慣。讀書(shū)的方法和鉆研的精神，即自學(xué)能力。例如在立體幾何關(guān)于《直線(xiàn)與平面平行的判定定理》一節(jié)中，在課前預(yù)習(xí)提出下列問(wèn)題：1、直線(xiàn)與平面有幾種位置關(guān)系？判定方法怎樣？2、直線(xiàn)與平面判定定理怎樣證明？還有其他方法嗎？課堂上，學(xué)生都可以回答上述兩個(gè)問(wèn)題，特別是對(duì)第二問(wèn)題討論熱烈，列舉各種證法，經(jīng)過(guò)總結(jié)，提高了學(xué)生對(duì)反證法的運(yùn)用能力。然而，向?qū)W生提出“直線(xiàn)與平面平行的判定方法是怎樣思考到的？”這一問(wèn)題時(shí)，學(xué)生都無(wú)從回答，其原因是學(xué)生在“自學(xué)求索”這一過(guò)程中，學(xué)生僅在預(yù)習(xí)課本時(shí)，直接記出定理，沒(méi)有求索探因，對(duì)第一個(gè)問(wèn)題（這是本節(jié)最基本問(wèn)題）覺(jué)得似乎易懂而放棄思索研究，筆者帶領(lǐng)學(xué)生再進(jìn)一步研究直線(xiàn)與平面的直線(xiàn)在平面內(nèi)，直線(xiàn)與平面相交平行三種位置的特點(diǎn)：用一支細(xì)直棍（代表直線(xiàn)）在一平面進(jìn)行“在平面內(nèi)”“平行”的變化過(guò)程的演示。
將直線(xiàn)先從在平面內(nèi)，再平行移動(dòng)到平面外，來(lái)找到線(xiàn)向平行的判定方法。這樣做使學(xué)生對(duì)教材深入鉆研，自學(xué)求索。過(guò)去，筆者是先從上述演示而引起線(xiàn)與平面平行判定定理，再證明，這樣做可稱(chēng)“啟發(fā)式”，而現(xiàn)在采取先提出問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)自學(xué)研究等階段來(lái)總結(jié)提高，可稱(chēng)“研究式”。
研究式的教學(xué)方法可應(yīng)用于課堂教學(xué)（如立幾的線(xiàn)面平行判定定理一節(jié)）中，可與其他教學(xué)形式有機(jī)結(jié)合在一起進(jìn)行課堂教學(xué)，也可應(yīng)用于課外研究，數(shù)學(xué)講座，數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組，指導(dǎo)個(gè)別數(shù)學(xué)優(yōu)等生學(xué)習(xí)。（如公式“A≥G”的證明）
對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究，不應(yīng)畢其功于一役，而應(yīng)該結(jié)合學(xué)生掌握知識(shí)的程度的不斷提高而引導(dǎo)學(xué)生在“自學(xué)求索”“討論研究”兩個(gè)階段中逐漸深入研究問(wèn)題。
在解析幾何《橢圓》一節(jié)中有這樣一個(gè)例題：我國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)A距地面439公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面2384公里，地球半徑為6371公里，求衛(wèi)星軌道方程。
此題計(jì)算不難，學(xué)生很容易掌握，但下課前，提出問(wèn)題，為什么地球的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)分別在橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)（實(shí)際上，在預(yù)習(xí)此課時(shí)，已有少數(shù)養(yǎng)成研究習(xí)慣的學(xué)生提出此問(wèn)題），并結(jié)合題目分析歸納成一個(gè)極值問(wèn)題：為什么橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最遠(yuǎn)點(diǎn)和最近點(diǎn)分別這橢圓長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)？
課后，有的學(xué)生利用代數(shù)方法解決這一問(wèn)題，但不少學(xué)生在遇到函數(shù)自變量為二個(gè)變量x.y時(shí)忘記了，“曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)必滿(mǎn)足這曲線(xiàn)方程”這一基本概念，或者運(yùn)算化簡(jiǎn)過(guò)程中配方法不熟練。
當(dāng)學(xué)習(xí)到圓錐曲線(xiàn)統(tǒng)一定義時(shí)，第二次提出此問(wèn)題讓學(xué)生研究，掌握用“求圓錐曲線(xiàn)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可化這點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離”來(lái)解決，減少變量個(gè)數(shù)。
當(dāng)學(xué)習(xí)參數(shù)方程時(shí)，第三次提出此問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用以角為參數(shù)方程，使代數(shù)極值問(wèn)題化為三角函數(shù)極值問(wèn)題來(lái)解決。
當(dāng)學(xué)習(xí)極坐標(biāo)時(shí)，第四次提出此問(wèn)題，讓學(xué)生找到更簡(jiǎn)便解法。
在總結(jié)階段，讓學(xué)生歸納對(duì)比這些解法，總結(jié)提高解決這類(lèi)極值問(wèn)題的基本方法，使這個(gè)問(wèn)題的討論研究貫穿于整個(gè)解析幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程中，使學(xué)生在實(shí)踐中深刻認(rèn)識(shí)鉆研教材的重要性，克服淺嘗輒止的不良習(xí)慣。鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)展求異思維，引導(dǎo)學(xué)生從不同的方面不同角度探索多種解法，使研究的空氣更濃，興趣更強(qiáng)烈，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性、自覺(jué)性，不少學(xué)生主動(dòng)圍繞課本定理、例題進(jìn)行深入研究，對(duì)課本習(xí)題加以引伸推廣，感到研究數(shù)學(xué)其樂(lè)無(wú)窮。
誠(chéng)然，中學(xué)數(shù)學(xué)研究式教學(xué)方法的可行性還在探索，如何完善，如何與其教學(xué)方法有機(jī)結(jié)合也在模索，筆者從改革教學(xué)方法提高教學(xué)質(zhì)量出發(fā)，僅僅是作為一個(gè)初步的嘗試和探討。
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