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高等數(shù)學(xué)的美學(xué)探索論文
引言
數(shù)學(xué)美古已有之，早在古希臘時(shí)代，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)論及數(shù)學(xué)與美學(xué)的關(guān)系，畢達(dá)哥拉斯本人既是哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，又是音樂(lè)理論的始祖，他第一次提出“美是和諧與比例”的觀點(diǎn)。我國(guó)當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家徐利治指出：“數(shù)學(xué)美的含義十分豐富，如數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)單性、統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對(duì)稱性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性與普適性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性等等都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容”。
1數(shù)學(xué)意境的形象美
高等數(shù)學(xué)中有些概念比較抽象，學(xué)生在理解上會(huì)有一定的困難．在教學(xué)中通過(guò)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫常瑢⒊橄蟮母拍罹唧w化、形象化，這樣易于學(xué)生理解。例如，講授極限的概念時(shí)先介紹劉徽的割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”。又如，《莊子天下篇>中的“一尺之捶，日取其半，萬(wàn)世不竭”。
同時(shí)再輔以多媒體技術(shù)，學(xué)生一定會(huì)在感官上感受到極限的美妙。
2數(shù)學(xué)探索的創(chuàng)新美
數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開(kāi)人們對(duì)于美的追求，數(shù)學(xué)家也是美的追求者。實(shí)際上，人們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)時(shí)，都在自覺(jué)不自覺(jué)地應(yīng)用美學(xué)原則，愛(ài)斯坦科學(xué)思想的偉大繼承人狄拉克說(shuō)：“我沒(méi)有試圖直接解決某個(gè)物理問(wèn)題，而只是試圖尋求某種優(yōu)美的數(shù)學(xué)”，他認(rèn)為：“如果物理學(xué)方程在數(shù)學(xué)上不美，那就標(biāo)志著一種不足，意味著理論有缺陷，需要改進(jìn)，有時(shí)候，數(shù)學(xué)美比實(shí)驗(yàn)相符更重要”。
高斯在回顧二次互反律的證明過(guò)程時(shí)說(shuō)：“尋求一種最美和最簡(jiǎn)潔的證明，乃是吸引我去研究的主要?jiǎng)恿Α薄?/p>
“美是真理的光輝“這句拉丁格言的意思是說(shuō)，探索者最初是借助這種光輝來(lái)認(rèn)識(shí)真理的．歷史的事實(shí)給我們以深刻的啟迪，為了培養(yǎng)高素質(zhì)的創(chuàng)新人才，必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)美的教育。
3數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔美
數(shù)學(xué)家將自己的勞動(dòng)成果用最合理的形式（一般是用式子）來(lái)表達(dá)，這就是數(shù)學(xué)美中很重要的一種美——簡(jiǎn)潔美。數(shù)學(xué)語(yǔ)言借助數(shù)學(xué)符號(hào)把數(shù)學(xué)內(nèi)容扼要地表現(xiàn)出來(lái)，體現(xiàn)了準(zhǔn)確性、有序性、概括性、簡(jiǎn)單性與條理性。如數(shù)列極限與函數(shù)極限的分析定義是用“ε-N”、“ε-δ”語(yǔ)言給出的，定義中具有任意性與確定性，ε的任意性通過(guò)無(wú)限多個(gè)相對(duì)確定性來(lái)實(shí)現(xiàn)，ε的確定性決定了N 和ε的存在性。這種定義精細(xì)地刻劃了極限過(guò)程中變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，表達(dá)了極限概念的本質(zhì)，并且為極限運(yùn)算奠定了基礎(chǔ)，學(xué)過(guò)微積分的人無(wú)不贊賞它的完美，評(píng)價(jià)它是最嚴(yán)密、最精煉、最優(yōu)美的語(yǔ)言。
4數(shù)學(xué)內(nèi)容的統(tǒng)一美
數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美是指在不同的數(shù)學(xué)對(duì)象或者同一對(duì)象的不同組成部分之間存在的內(nèi)在聯(lián)系或共同規(guī)律。
歐拉公式：1+Eiπ=0，曾獲得“最美的數(shù)學(xué)等式”稱號(hào)。歐拉建立了在他那個(gè)時(shí)代，數(shù)學(xué)中最重要的幾個(gè)常數(shù)之間的絕妙的有趣的聯(lián)系，包容得如此協(xié)調(diào)、有序。與歐拉公式有關(guān)的棣莫弗～歐拉公式cosθ+i sinθ=e把人們以為沒(méi)有什么共同性的兩大類函數(shù)三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)緊密地結(jié)合起來(lái)了。對(duì)它們的結(jié)合，人們始則驚詫，繼而贊嘆確是“天作之合”，因?yàn)�，由它們的結(jié)合能派生出許多美的、有用的結(jié)論來(lái)。
愛(ài)因斯坦一生的夢(mèng)想就是追求宇宙統(tǒng)一的理論。他用簡(jiǎn)潔的表達(dá)式E=mc2揭示了自然界中質(zhì)能關(guān)系，這不能不說(shuō)是一件統(tǒng)一的藝術(shù)品。人類在不斷探索者紛繁復(fù)雜的世界，又在不斷地用統(tǒng)一的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)世界，宇宙沒(méi)有盡頭，統(tǒng)一美也需要永恒的追求。
數(shù)學(xué)的發(fā)展是逐步統(tǒng)一的過(guò)程。統(tǒng)一的目的也正如希爾伯特所說(shuō)的：“數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡(jiǎn)潔的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系的，這些工具和方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論并把陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊�！�
5數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)捷美
解題方法的簡(jiǎn)單、巧妙是一種理性的美，簡(jiǎn)捷的解題方法和明快的思維令人心曠神怡，在心里激起愉快的情感體驗(yàn)和愉悅的美感，在成功的喜悅中對(duì)數(shù)學(xué)審美和數(shù)學(xué)創(chuàng)新會(huì)有更迫切的要求。
例如，求極限：cos x coscos……cos該極限直接計(jì)算是無(wú)法得到結(jié)果的，但只要我們注意到三角函數(shù)的倍角公式2sinαcosα=sin2α和=1，就可以將極限號(hào)內(nèi)的無(wú)限多個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為有限多個(gè)函數(shù)，于是就有：
cos x coscos……cos
=cos x coscos……cossin/
=cos x coscos……（2cossin）
=cos x coscos……cossin
=…==1，這就是一種美妙而簡(jiǎn)單的解法。
又如求極限，完全可以利用它與重要極限公式=1的相似性來(lái)解=1，而獲得成功。
利用數(shù)學(xué)的美感激發(fā)創(chuàng)新靈感，迸發(fā)創(chuàng)造性思維火花，產(chǎn)生許多新穎別致又簡(jiǎn)捷的解題方法和技巧，解題者因此得到愉快的心靈感受，從內(nèi)心自覺(jué)地產(chǎn)生發(fā)現(xiàn)、運(yùn)用和創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的渴望，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的濃厚興趣，不斷提高數(shù)學(xué)能力。
6數(shù)學(xué)理論的奇異美
數(shù)學(xué)中許多理論與人們的直覺(jué)相背離，有時(shí)讓人覺(jué)得不可思議，給人以無(wú)盡的遐想，有時(shí)又帶給人一種“山窮水復(fù)疑無(wú)路，柳岸花明又一春”的絕妙境界，它印證了我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治所說(shuō)的：“奇異是一種美，奇異到了極限更是一種絕佳的美”。
例如，有無(wú)限個(gè)連續(xù)點(diǎn)（無(wú)理點(diǎn)）和無(wú)限個(gè)間斷點(diǎn)（有理點(diǎn)）的黎曼函數(shù)f（x）=x=（為既約真分?jǐn)?shù)）0x=0，1及（0，1）內(nèi)的無(wú)理數(shù)；在任一點(diǎn)都不連續(xù)狄利克雷函數(shù)f（x）=0x∈Q1x∈；處處連續(xù)但處處不可微的魏爾斯特拉斯函數(shù)f（x）=bcos（απx）（其中α為奇數(shù)，0＜b＜1，ab＞1+π)，這些函數(shù)我們都無(wú)法準(zhǔn)
確地描繪出它的圖像。但是黎曼函數(shù)、狄利克雷函數(shù)和魏爾斯特拉斯函數(shù)的美就恰似一幅幅神奇的抽象畫，雖奇異古怪，卻是數(shù)學(xué)家們依靠想象而產(chǎn)生的藝術(shù)精品。
與之相反，數(shù)學(xué)家皮亞諾構(gòu)造出的可充滿一個(gè)正方形的曲線“皮亞諾曲線”，也讓我們感受到數(shù)學(xué)的“奇異美”。
總而言之，高等數(shù)學(xué)中包含的數(shù)學(xué)美的內(nèi)容是非常豐富的，正如羅素所說(shuō)：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且有至高的美”。只要我們善于去觀察，善于去總結(jié)，我們還會(huì)有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)新。把它們及時(shí)地引進(jìn)課堂，對(duì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)是非常有利的，讓越來(lái)越多的人感受到高等數(shù)學(xué)的美，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)美的追求，使他們逐步體驗(yàn)到數(shù)學(xué)美，使他們擺脫“苦學(xué)”的束縛，走入“樂(lè)學(xué)”的天地。
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