傅氏變換中的問題探究論文

　　摘 要：求解函數(shù)的傅里葉變換是分析信號與線性系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系的主要手段之一，靈活地運用傅氏變換對線性網(wǎng)絡(luò)進行頻域分析具有重要的作用。本文首先分析了傅氏變換的實質(zhì)以及其具有的物理意義，然后就傅氏變換的求解過程中經(jīng)常出現(xiàn)的問題給與了詳細解釋。使得我們在以后的求解過程終能有效地避開關(guān)于沖擊項的討論，以簡化求解過程。

　　關(guān)鍵詞：傅里葉變換；沖擊函數(shù)；微分特性；積分特性

　　1 引言

　　在現(xiàn)代數(shù)學中，傅里葉變換有著廣泛的應用，無論是在聲學、數(shù)字信號處理方面還是在生物醫(yī)學工程甚至核科學的研究上無不發(fā)揮著重要的作用，因此正確的求解傅氏變換是科研工作人員所必須具有的基本素質(zhì)之一。而我們在學習傅氏變換的過程中，有非常容易丟掉一些關(guān)于沖擊項的傅氏變換部分，這就使我們不得不尋找一些方法來避免這些成分的丟失。

　　2 傅氏變換理論

　　2.1 傅氏變換的實質(zhì)

　　對于一些周期函數(shù)我們要進行頻譜分析時，常利用傅氏級數(shù)對其進行展開，展開公式為：

　　其中。

　　很明顯，周期函數(shù)的頻譜特性是離散的。而對于非周期信號來講，可將其周期看做是無窮大，這樣頻譜相鄰譜線間的間隔將無限趨小，譜線無限密集，這也就意味著其頻譜特性是連續(xù)的。同時，由于周期無限趨大，復振幅亦無限趨小。于是等式兩邊同乘以，以顯示出各頻率分量的振幅差異。這也就是我們所定義的傅里葉變換。即：

　　從上式我們也可以看出具有單位頻帶振幅的性質(zhì)。故傅里葉變換實則為的頻譜密度函數(shù)。這時我們再討論直流分量的傅里葉變換就不顯得那么困難了，從物理意義上來講直流分量的頻率不存在即為0，那么直流分量的振幅就全部降落在0或者從極限的角度講為，降落在趨近于零的一個非常狹小的區(qū)間上，用振幅比上這樣一個狹小的頻帶，可想而知其結(jié)果就是一個在零點的沖擊。當然，我們在數(shù)學演算時，還要添加一個系數(shù)。即：。

　　2.2傅里葉變換的重要性質(zhì)

　　2.2.1微分特性

　　如果在上連續(xù)或只有有限個可去間斷點，且，則

　　推廣式：

　　需要指出的是，此微分性質(zhì)只是充分的，并不能利用它進行傅里葉變換的反向求解。

　　2.2.2積分特性

　　若，則例1的錯誤原因是由于沒有考慮到微分性質(zhì)的非必要性。因而遺漏了沖擊項，而此時我們利用上面所給的積分性質(zhì)，并考慮到

　　可以看到此種解法是正確的。隨著我們學習的深入，逐漸會發(fā)現(xiàn)該積分特性仍存在不少缺陷，他只能夠求得某種特定的函數(shù)的傅里葉變換，對于一般的函數(shù)仍不適用。g1（t），故由導數(shù)的頻譜只可直接求得。，則需要計及積分常數(shù)的影響，故需尋求統(tǒng)一的公式來完成這類函數(shù)求解。

　　3 結(jié)論

　　由以上分析可知，當函數(shù)無直流分量時，可以利用微分性質(zhì)加“沖擊法”來求解其傅氏變換，其結(jié)果是正確的，但過程仍是錯誤的。如果有直流分量，則傅氏變換后結(jié)果中必有沖擊，這時可利用上面通式進行求解。以保證結(jié)果不缺少沖擊項。在電子線路中，如果計算中丟失沖擊項，就相當于計算中丟失了直流分量，會對結(jié)果造成很大誤差，應予以避免。

　　參考文獻：

　　[1] 張炎生、周玨《“沖擊法""在求函數(shù)傅氏變換中的應用》 1996

　　[2] 徐小蓉 《傅里葉變換及其應用》 教育在線 2009

　　[3] 張祥芝等 工程數(shù)學教程 中國礦業(yè)大學出版社 2008

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