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小學奧數(shù)數(shù)論知識講解：奇數(shù)偶數(shù)與奇偶性分析
【奇數(shù)和偶數(shù)】
例1 用l、2、3、4、5這五個數(shù)兩兩相乘，可以得到10個不同的乘積。問乘積中是偶數(shù)多還是奇數(shù)多?
講析：如果兩個整數(shù)的積是奇數(shù)，那么這兩個整數(shù)都必須是奇數(shù)。在這五個數(shù)中，只有三個奇數(shù)，兩兩相乘可以得到3個不同的奇數(shù)積。而偶數(shù)積共有7個。所以，乘積中是偶數(shù)的多。
例2 有兩組數(shù)，甲組：1、3、5、7、9……、23;乙組：2、4、6、8、10、……24，從甲組任意選一個數(shù)與乙組任意選出一個數(shù)相加，能得到______個不同的和。
講析：甲組有12個奇數(shù)，乙組有12個偶數(shù)。甲組中任意一個數(shù)與乙組中任意一個數(shù)相加的和，必為奇數(shù)，其中最大是47，最小是3。從3到47不同的奇數(shù)共有23個。所以，能得到23個不同的和。本題中，我們不能認為12個奇數(shù)與12個偶數(shù)任意搭配相加，會得到12×12=144(個)不同的和。因為其中有很多是相同的。
【奇偶性分析】
例1 某班同學參加學校的數(shù)學競賽。試題共50道。評分標準是：答對一道給3分，不答給1分，答錯倒扣1分。請你說明：該班同學得分總和一定是偶數(shù)。
講析：如果50道題都答對，共可得150分，是一個偶數(shù)。每答錯一道題，就要相差4分，不管答錯多少道題，4的倍數(shù)總是偶數(shù)。150減偶數(shù)，差仍然是一個偶數(shù)。同理，每不答一道題，就相差2分，不管有多少道題不答，2的倍數(shù)總是偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)之和為偶數(shù)。所以，全班每個同學的分數(shù)都是偶數(shù)。則全班同學的得分之和也一定是個偶數(shù)。
例2 5只杯子杯口全都朝上。規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)4只杯子，經(jīng)過若干次后，能否使杯口全部朝下?
講析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必須翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次。要想5只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，則翻動的總次數(shù)也一定是奇數(shù)次才能辦得到�，F(xiàn)在每次只翻轉(zhuǎn)4只杯子，無論翻多少回，總次數(shù)一定是偶數(shù)。所以，不能使杯口全部朝下。
例3 某班共有25個同學。坐成5行5列的方陣。我們想讓每個同學都坐到與他相鄰的座位上去。(指前、后、左、右)，能否做得到?
講析：如圖5.44，為了方便，我們將每一格用A或B表示，也就是與A相鄰的用B表示，與B相鄰的用A表示。要想使每位同學都坐到相鄰座位上去，也就是說坐A座位的同學都要坐到B座位上去，而坐B座位上的同學都要坐到A座位上去。但是，A座位共13個，而B座位共12個，所以，不管怎樣坐，要想坐A座位的同學都坐到B座位上去，是辦不到的。
例4 線段AB的兩個端點，一個標以紅色，一個標以藍色。在線段中間插入1991個分點，每個分點隨意標上紅色或藍色。這樣分得1992條不重疊的小線段，如果把兩端點顏色不同的小線段叫做標準線段，那么標準線段的條數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?
講析：每插入一個點，無論其顏色怎樣，其非標準線段的條數(shù)增加0條或2條，所以插入1991個點后，非標準線段增加總數(shù)是一個偶數(shù)。又原非標準線段條數(shù)為1，是一個奇數(shù)，故最后得到的非標準線段必為奇數(shù)。非標準線段條數(shù)+標準線段條數(shù)=1992條。所以，標準線段的條數(shù)是奇數(shù)。
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